線形空間論の基礎

\(K\) は体とする。

基本事項

日常語でベクトルとは「大きさと向きを持つ量」のことだが、数学では「加法と実数倍が定義できる」という性質に注目し、以下のような抽象が行われる。

定義. 線形空間

加法群 \(V\) は、写像 \(\varphi:K\times V \rightarrow V\) (これを スカラー乗法 という)が与えられて次の条件を満たす時、 \(K\) 線形空間 という。ただし、 \(\varphi (c, v)\)\(cv\) と略記する。

  1. 任意の元 \(c\in K, v\in V, w\in V\) に関して、 \(c(v+w) = cv + cw\)
  2. 任意の元 \(a\in K, b\in K, v\in V\) に関して、 \((a+b)v=av+bv\)
  3. 任意の元 \(a\in K, b\in K, v\in V\) に関して、 \((ab)v=a(bv)\)
  4. \(1\in K\) と任意の元 \(v\in V\) に関して、 \(1v=v\)

多くの場合、 \(K\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{C}\) だ。

定義. ベクトル、スカラー

\(K\) 線形空間の元を ベクトル といい、 \(K\) の元を スカラー という。

定義. 数ベクトル空間、標準基底

\(n\) を自然数とする。 \(K^n\) は、成分毎に和とスカラー倍を定義することで \(K\) 線形空間とみなせる。これを \(n\) 次元数ベクトル空間 という。

\(i\) 成分が1、それ以外の成分が全て0の元を \(e_i\) と書く。 \(n\) 個のベクトルの集まり

(1)\[e_1, e_2, \dots, e_n\]

\(K^n\)標準基底 という。

定義. 線形写像

2つの \(K\) 線形空間 \(V_1, V_2\) に関して、 写像 \(f :V_1 \rightarrow V_2\) は次の2つの性質を満たす時、 \(K\) 準同型\(K\) 線形写像 という。 文脈から明らかな時は、 \(K\) を表記しないことがある。

  1. 任意の \(x, y\in V_1\) に関して、 \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
  2. 任意の \(x\in V_1, c\in K\) に関して、 \(f(cx) = cf(x)\)

定義. 同型

\(K\) 線形空間の間の準同型 \(f:V_1\rightarrow V_2\) は、ある準同型 \(g:V_2 \rightarrow V_1\) が存在して \(f\circ g = \text{id}_{V_2}\)\(g\circ f = \text{id}_{V_1}\) となる時、 同型写像 であるという。この時、線形空間 \(V_1, V_2\)同型 であるといい、 \(V_1\simeq V_2\) と書く。

同型とは、同一の構造を持つことだ。

定義. 像、核

\(f:V\rightarrow W\)\(K\) 線形空間の間の準同型とする。次のように \(f\) \(\text{Im }f\) \(\text{Ker } f\) を定義する:

  1. \(\text{Im }f = \{ w\in W | \exists v\in V. f(v)=w \}\)
  2. \(\text{Ker } f = \{ v\in V | f(v)=0 \}\)

これは、 \(f\) がどれくらい同型と離れているかを全射性と単射性に分けて調べるための概念だ。像は全射性に、核は単射性に関係する。

定義. 線形写像の階数

\(K\) 線形写像の間の準同型 \(f:V\rightarrow W\) に関して、 \(\text{Im }f\) の次元(次節で説明)を \(f\)階数 といい、 \(\text{rank }f\) と書く。

次元と基底

次元とは何だろう?線形空間に関しては、自然な定義がある。

以下、 \(V\)\(K\) 線形空間とする。

定義. 線形結合

\(n\) 個のベクトル \(a_1, \dots, a_n \in V\) に関して、 \(n\) 個のスカラー \(c_1, \dots, c_n \in K\) によって

(2)\[c_1 a_1 + \dots + c_n a_n\]

と表せる元を、 \(a_1, \dots, a_n\)線形結合 という。 \(V\) の元が全て \(a_1, \dots, a_n\) の線形結合であれば、 \(a_1, \dots, a_n\)\(V\)張る という。

定義. 次元

\(V\) を張る \(n\) 個のベクトルが存在し、かつ、 \(n\) 個より少ないベクトルでは \(V\) を張ることができない場合、 \(V\)次元\(n\) であるという。この値を \(\dim{V}\) と書く。有限個のベクトルで張ることができない線形空間は、 無限次元 であるという。

ただし、元を一つしか持たない線形空間 \(\{ 0 \}\) の次元は0と定義する。つまり、点は0次元だ。

定義. 基底(1)

\(\dim{V}=n\) の時、 \(V\) を張る \(n\) 個のベクトルを \(V\)基底 という。

基底による線形結合表示の唯一性

\(\dim{V}=n\) とし、 \(a_1, \dots, a_n\)\(V\) の基底とする。

任意のベクトル \(x\in V\)\(a_1, \dots, a_n\) の線形結合として表せるが、この表し方は一つしかない。つまり、スカラー \(c_i\), \(d_i\) によって

(3)\[x=c_1a_1+\dots+c_na_n\]
(4)\[x=d_1a_1+\dots+d_na_n\]

と表せたとすれば、 \(c_1=d_1, c_2=d_2, \dots, c_n=d_n\) でなければならない。

定義. 線形独立、線形従属

\(n\) 個のベクトル \(a_1, ..., a_n \in V\) は、次の条件を満たす時、 線形独立 であるという:

  1. 任意のスカラー \(c_1, ..., c_n \in K\) に関して、\(c_1 a_1 + \dots + c_n a_n = 0\)\(c_1 = \dots = c_n = 0\) は同値。

線形独立でない時は、 線形従属 であるという。

次元の本質

\(p\) 個の元が \(V\) を張り、 \(q\) 個の元が \(V\) で線形独立とする。

次が成り立つ:

(5)\[q\leq \dim{V}\leq p\]

証明の手引:

\(q \leq p\) を示すために、背理法の前提として \(q>p\) を仮定する。

\(a_1, \dots, a_p\)\(V\) を張り、 \(b_1, \dots, b_q\) が線形独立とする。

\(b_1\)\(a_1,\dots, a_p\) の線形結合として書けるから、ある \(a_i\) はそれ以外の \(a_j\)\(b_1\) の線形結合として書ける。よって、 \(a_1,\dots, a_p\) からこの \(a_i\) を除いて代わりに \(b\) を付け加えた集合は \(V\) を張る。

定義. 基底(2)

前項の不等式から、基底の概念を次のように再定義できる:

\(n\) 個のベクトル \(a_1, \dots, a_n \in V\) は、 \(V\) を張り、かつ、線形独立である時、 \(V\)基底 という。

例. 部分分数分解の存在証明

次元論の応用事例を紹介する。

相異なる \(n\) 個の実数 \(c_1,\dots, c_n\) に関して、実数係数の多項式 \(f(x)\) を次のように定義する:

(6)\[f(x)=(x-c_1)(x-c_2)\dots(x-c_n)\]

\(n\) 個の実数 \(a_1,\dots, a_n\) が存在して、次が成り立つ:

(7)\[\frac{1}{f(x)} = \frac{a_1}{x-c_1} + \frac{a_2}{x-c_2} + \dots + \frac{a_n}{x-c_n}\]

証明の手引

\((n-1)\) 次以下の多項式 \(g(x)\) によって \(\frac{g(x)}{f(x)}\) と書ける有理式全体の集合を \(V\) とおく:

(8)\[V=\left\{ \frac{g(x)}{f(x)} | g(x) \in \mathbb{R}[x], \text{deg } g(x) < n \right\}\]

これは \(\mathbb{R}\) 線形空間になる。 \(n\) 個のベクトル

(9)\[\frac{1}{f(x)}, \frac{x}{f(x)}, \dots, \frac{x^{n-1}}{f(x)}\]

は線形独立かつ \(V\) を張るから、 \(\dim{V}=n\) 。よって、線形独立な \(n\) 個のベクトル

(10)\[\frac{1}{x-c_1}, \frac{1}{x-c_2}, \dots, \frac{1}{x-c_n}\]

\(V\) の基底。従って、 \(n\) 個の実数 \(a_1,\dots, a_n\) が存在して、

(11)\[\frac{1}{f(x)} = \frac{a_1}{x-c_1} + \frac{a_2}{x-c_2} + \dots + \frac{a_n}{x-c_n}\]

が成り立つ。

線形空間の構造

定義. 部分空間

\(V\)\(K\) 線形空間とし、 \(W\)\(V\) の部分集合とする。 \(W\) が次の条件を満たす時、 \(W\) は自然に \(K\) 線形空間となる。

  1. 任意の元 \(v, w\in W\) に関して、 \(v+w \in W\)
  2. 任意の元 \(c\in K, v\in W\) に関して、 \(cv\in W\)

これを \(V\)部分空間 という。

定義. 生成される部分空間

\(V\) の部分集合 \(S\) に関して、 \(S\) に含まれるベクトルの線形結合全体の集合は、 \(V\) の部分空間であり、 \(S\) を含む最小の部分空間だ。これを \(\langle S\rangle\) と書き、 \(S\) で生成される空間\(S\) で張られる空間 という。

定義. 線形空間の共通部分

\(V\) の部分空間の共通部分は、 \(V\) の部分空間になる。

定義. 部分空間の和

\(W_1, \dots, W_n\)\(V\) の部分空間とする。

次が成り立つ:

(12)\[\langle W_1 \cup \dots \cup W_n\rangle = \{x_1 + \dots + x_n | x_1 \in W_1, \dots, x_n \in W_n \}\]

これを \(W_1 + \dots + W_n\) と書き、 \(W_1, \dots , W_n\) という。

定義. 部分空間の直和

一般に、ベクトル \(v\in W_1 + \dots + W_n\)

(13)\[v=x_1 + \dots + x_n \ (x_1 \in W_1, \dots, x_n \in W_n)\]

と表す方法は唯一つとは限らない。もしこの表し方が常に一通りしかなければ、 \(W_1 + \dots + W_n\)\(W_1,\dots, W_n\)直和 といい、 \(W_1 \oplus \dots \oplus W_n\) と書く。

定義. 商空間

\(W\)\(K\) 線形空間 \(V\) の部分空間とし、任意の \(x, y\in V\) に関して \(x \sim y \Leftrightarrow x-y \in W\) と定義する。

商集合 \(V/W\) は次のようにして線形空間になり、これを \(W\) による \(V\)商空間 という:

  1. 任意の元 \([v_1], [v_2] \in V/W\) に関して、 \([v_1] + [v_2]\)\([v_1 + v_2]\) と定義する。
  2. 任意の元 \(c\in K, [v]\in V/W\) に関して、 \(c[v]\)\([cv]\) と定義する。

商空間の次元

\(V\) を有限次元 \(K\) 線形空間とし、 \(W\)\(V\) の部分空間とする。

次が成り立つ:

(14)\[\dim{(V/W)} = \dim{V} - \dim{W}\]

証明の手引:

\(W\) の基底を採り、それを延長して \(V\) の基底を採る。

命題. 和空間の次元の公式

\(V\) を有限次元 \(K\) 線形空間とし、 \(W_1, W_2\)\(V\) の部分空間とする。

次が成り立つ:

(15)\[\dim{(W_1+W_2)} = \dim{W_1} + \dim{W_2} - \dim{(W_1 \cap W_2)}\]

定義. 直和空間

1つの線形空間の2つの部分空間に関して直和を定義したが、一般の \(K\) 線形空間 \(V, W\) に関して、 直和 \(V \oplus W\) を次のように定義する。

集合として直積 \(V\times W\) を作り、次のように和とスカラー乗法を定義する:

  1. 任意の元 \((v_1, w_1), (v_2, w_2) \in V\times W\) に関して、 \((v_1, w_1) + (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2)\)
  2. 任意の元 \(c\in K, (v, w) \in V\times W\) に関して、 \(c(v, w) = (cv, cw)\)

同様にして、有限個の \(K\) 上の線形空間 \(V_1, \dots, V_n\) の直和 \(V_1\oplus \dots \oplus V_n\) が定義できる。

3つの同型定理

第一同型定理

\(f:V\rightarrow W\)\(K\) 線形空間の間の準同型とする。

次が成り立つ:

(16)\[\text{Im }f \simeq V/\text{Ker }f\]

系として、次を得る:

(17)\[\dim{V}=\dim{\text{Im }f} + \dim{\text{Ker }f}\]

第二同型定理

\(V\)\(K\) 線形空間とし、 \(W_1, W_2\)\(V\) の部分空間とする。

次が成り立つ:

(18)\[W_1/(W_1 \cap W_2) \simeq (W_1 + W_2)/W_2\]

第三同型定理

\(V\)\(K\) 線形空間とし、 \(W_1, W_2\)\(V\) の部分空間で \(W_1 \subseteq W_2\) とする。

\(W_2/W_1\)\(V/W_1\) の部分空間とみなすことができ、次が成り立つ:

(19)\[(V/W_1)/(W_2/W_1) \simeq V/W_2\]